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Chapitre V Optimisation du modèle de feuille

Table des matières

Les tests statistiques réalisés au chapitre précédent ont permis de constater que notre modèle de feuille mixte (une partie centrale rigide et des extrémités perméables) n’est pas assez diffusif en aval de la vigne. Nous avons donc décidé de le raffiner afin d’améliorer les résultats de simulation numérique. Pour ce faire, l’influence de la perméabilité α des feuilles de notre modèle sur les écoulements obtenus numériquement a été étudiée. Plusieurs maillages différents ont ainsi été construits (avec et sans partie centrale rigide), puis simulés en faisant varier la valeur de α des différentes zones de la feuille. Des comparaisons qualitatives entre les résultats ainsi obtenus ont ensuite été réalisées afin de trouver un modèle plus acceptable, c’est-à-dire plus diffusif. Cela étant fait, des tests statistiques de comparaison avec les mesures en champ ont été conduits sur les modèles améliorant les profils qualitatifs de vitesse obtenus.

Le modèle de milieu poreux utilisé pour cette étude a été défini au chapitre II à l’équation (10) rappelée ci-dessous (les notations ont été définies précédemment) :

(10)

Leroy (2003) réduit cette équation à la loi de Darcy en imposant C2 = 0 m 1 ; et pose, de façon arbitraire, α = 10 7 m2 pour définir la perméabilité de la périphérie des feuilles pour son modèle numérique (voir figure 2.3).

À la vue des tests statistiques réalisés au chapitre précédent, ce modèle n’apparaît pas assez diffusif en aval de la vigne. Afin de le raffiner, nous avons fait varier la perméabilité α des feuilles (de 10 6 à 10 9 m2 ) tout en conservant la loi de Darcy (paragraphe 5.2). Puis, des simulations numériques ont été menées sur des maillages dont on ne conservait que la partie centrale imperméable des feuilles (paragraphe 5.3). Enfin, deux études statistiques, comparant la simulation numérique à la réalité, ont été menées sur des maillages à feuilles de perméabilité α = 10 8 m2 aux extrémités (paragraphe 5.4) et des feuillages totalement poreux, également de perméabilité α = 10 8 m2 (paragraphe 5.5).

Afin d’étudier l’influence de la perméabilité des extrémités des feuilles du modèle numérique sur l’écoulement de pesticide dans la vigne, nous avons fait varier α de 10–6 à 10–9 m2 pour un seul des cinq maillages utilisés précédemment (maillage choisi de façon arbitraire). Les profils de vitesse en position 3 (traits pleins) sont confrontés et comparés à un profil de mesures in situ moyen (en pointillé) à la figure 5.1.

On peut tirer deux conclusions intéressantes de la figure 5.1 ci-dessous :

  • les profils de vitesse en position 3 pour α = 10 6 m2 et α = 10 7 m2 sont pratiquement semblables. De telles perméabilités des extrémités poreuses du modèle de feuille ne semblent donc pas avoir d’effet significatif de blocage sur l’écoulement de fluide dans la vigne. Ces valeurs de α apparaissent donc trop grandes pour représenter adéquatement la déformation des feuilles de vigne due à l’écoulement.

  • en termes d’aire sous la courbe, le profil expérimental moyen de vitesse (en pointillés) se situe entre les courbes correspondant aux perméabilités 10 8 et 10 9 m2 .

Afin de vérifier ces constatations, deux études plus poussées ont été réalisées et sont présentées aux deux paragraphes suivant (5.3 et 5.4). Dans le premier, l’effet de la partie perméable (α = 10 7 m2 ) du modèle numérique de feuille sur l’écoulement est décrit. Puis, dans le second, nous allons comparer statistiquement les résultats numériques obtenus pour des feuilles à extrémités poreuses de perméabilité α = 10 8 m2 avec les mesures en champ.

La figure 5.1 ci-dessus montre que la partie perméable du modèle de feuille de Leroy (2003) n’a pas d’influence sur l’écoulement de pesticide autour de la vigne; et donc que le choix arbitraire de ce dernier, en ce qui concerne la perméabilité des feuilles (α=10 7 m2 ), n’est pas judicieux. Plusieurs essais numériques ont été réalisés pour prouver cette constatation, à la fois qualitativement (comparaison de profils de vitesse) et quantitativement (tests statistiques).

Dans un premier temps, un maillage dont les feuilles sont totalement poreuses (pas de partie centrale imperméable), avec α = 10 7 m2 , a été construit puis simulé avec les réglages utilisés depuis le début de l’étude. Une représentation de l’écoulement (contours des iso vitesses) est donnée à figure 5.2 ci-dessous :

On peut constater que ces feuilles totalement poreuses de perméabilité 10–7 m2 n’ont aucun effet sur l’écoulement d’air dans la vigne : le flux de pesticide passe au travers de celles-ci sans aucune résistance. Cela était prévisible par l’analyse d’ordre de grandeur de l’équation (10). En effet, en posant C2 = 0 m 1 , la viscosité de l’air μ = 1,79 10 5 kg m 1 s 1 , la perméabilité de la partie poreuse de la feuille α = 10 7 m2 , son épaisseur Δ m = 0,001 m et des vitesses de l’ordre de 5 m/s, on obtient une différence de pression entre l’amont et l’aval de la feuille de l’ordre de 1 Pa. Cette valeur n’est pas suffisante pour freiner le fluide au passage des deux extrémités de la feuille.

Pour approfondir cette étude, nous avons simulé un maillage pour lequel les parties poreuses périphériques ont été éliminées. Seules les parties centrales imperméables et de longueur l = 10 mm ont été conservées. Les profils de vitesse obtenus en positions 2 et 3 sont comparés avec ceux pour lesquels les extrémités de la feuille ont une perméabilité α = 10 7 m2 (figures 5.3 et 5.4).

Ces deux figures confirment bien que les extrémités des feuilles de perméabilité α = 10 7 m2 n’influencent presque pas l’écoulement autour de la vigne.

Une comparaison statistique entre la simulation numérique et les mesures en champ a été réalisée en utilisant des maillages pour lesquels on n’a conservé que la partie centrale rigide du modèle de feuille (l = 10 mm); les parties périphériques étant parfaitement perméables. De tels maillages sont beaucoup plus simples à construire et réduisent les temps de calculs; d’où leur intérêt.

Pour ce faire, cinq maillages ont été construits et simulés; et, les profils de vitesse en position 2 et 3 ont été comparés avec les mesures in situ en utilisant le test de Behrens - Fisher et la méthode non paramétrique (décrits à la section 4.2). Les aires sous la courbe ont également été comparées avec les mêmes outils. Les résultats sont résumés dans les tableaux présentés en annexe 2.

Comme on pouvait le prévoir, les deux tests statistiques de comparaison entre la simulation et les mesures en champ sont très semblables pour les maillages avec et sans extrémité poreuse de perméabilité α = 10 7 m2 . Le tableau récapitulatif 5.1 ci-dessous confirme nos précédents résultats. Rappelons que le test de Behrens - Fisher est qualifié de significatif lorsque t’ est supérieur à son seuil; et, dans ce cas, l’hypothèse nulle (la simulation et les mesures in situ décrivent les mêmes populations) est rejetée. Dans le cas contraire, le test est non significatif et on ne peut pas rejeter l’hypothèse nulle. Cependant, cela ne signifie pas qu’elle est validée. Pour la méthode non paramétrique de classement des données non appariées, le test est dit significatif lorsque T est inférieur ou égal au seuil à 5 %.

En conclusion, à part une réduction de temps pour construire le maillage et le simuler, il n’y a pas d’avantage à utiliser un modèle pour lequel on ne conserve que les parties centrales imperméables puisque ce dernier ne donne pas de meilleur résultat.

À la figure 5.1 du paragraphe 5.2 précédent, nous avions remarqué que l’aire sous la courbe des mesures en champ se rapprochait le plus de celle correspondant à des extrémités de feuille de perméabilité α = 10–8 m2 . Pour approfondir cette observation, une étude statistique comparant ce modèle de feuille à la réalité a été réalisée. Cinq maillages différents ont à nouveau été construits avec des feuilles composées d’une partie centrale imperméable de longueur l = 10 mm et de deux extrémités (de longueur aléatoire) de perméabilité α = 10–8 m2 (voir figure 2.3). Après simulation numérique et relevé des profils de vitesse en position 2 et 3, les comparaisons ont été effectuées grâce aux tests utilisés précédemment. Leurs résultats sont résumés en annexe 3. Le tableau de confrontation avec un modèle de feuille dont les extrémités ont une perméabilité de 10–7 m2 est donné ci-dessous (tableau 5.2).

Finalement, à part un test significatif (capteur n°5 en position 2) rejetant l’hypothèse nulle, tous les autres sont non significatifs avec ce nouveau modèle de feuille. Cela est d’autant plus vrai pour les aires sous la courbe en position 3. Ce modèle numérique donne donc des écoulements beaucoup plus diffusifs en aval de la vigne, ce qui était recherché. C’est en effet dans cette zone, entre la vigne et l’écran récupérateur, que doivent se concentrer nos efforts et notre optimisation du modèle numérique de feuille. En position 2, les deux modèles de feuille donnent sensiblement les mêmes résultats aux tests.

La simplicité du maillage (et notamment celle du modèle de feuille) et le temps de calcul numérique sont des paramètres déterminants quant au choix d’une modélisation de la vigne. En effet, un maillage avec un modèle de feuille composée de trois parties distinctes (voir figure 2.3) est difficile et surtout long à mettre en oeuvre, sous le logiciel GAMBIT (1998) par exemple. La simulation de tels maillages en est d’autant plus longue.

Cette problématique nous a conduits à simuler des modèles numériques plus simples que ceux précédemment utilisés. Ainsi, au paragraphe 5.3, l’étude statistique de maillages ne conservant que les parties centrales imperméables des feuilles a été réalisée. Les résultats obtenus n’étant pas meilleurs que les précédents, nous avons abandonné cet axe de recherche. Un autre modèle simplifiant nos calculs est de considérer une feuille totalement poreuse. On s’affranchit donc ainsi de la partie centrale rigide et imperméable qui représentait la nervure médiane de la feuille. Le choix de la perméabilité s’est fait de façon qualitative dans un premier temps. Puis, une étude statistique a été conduite comparant le modèle ainsi choisi aux mesures en champ.

Pour choisir une perméabilité pour notre modèle numérique de feuille totalement poreuse, un maillage a été choisi au hasard parmi ceux utilisés précédemment. Il a ensuite été simulé en faisant varier la perméabilité α de 10–7 à 10–10 m2 . Le champ de vitesse autour de la vigne pour des feuilles complètement poreuses (α = 10–7 m2 ) a été donné plus haut, à la figure 5.2. Pour α = 10–8 à 10–10 m2 , les courbes des iso vitesses sont présentées aux figures 5.5 à 5.7.

On a vu plus haut que des feuilles de perméabilité 10–7 m2 ont peu d’influence sur l’écoulement de pesticide autour de la vigne (figure 5.2). D’autre part, plus on diminue cette valeur α, plus le fluide est freiné par le feuillage jusqu’à ce qu’il ne passe presque plus au travers de la vigne, pour α = 10–10 m2 (figure 5.7). Dans ce cas, une grande partie du débit de pesticide est perdue en amont de la vigne.

Le modèle le plus acceptable en ce qui concerne la dispersion qualitative du jet par le feuillage est obtenu pour α = 10–8 m2 (figure 5.5). Une étude statistique comparant la simulation numérique à la réalité a été menée pour ce modèle bien précis de feuille. Elle est présentée à la section suivante.

Dans ce chapitre, nous avons montré que le choix de Leroy (2003) d’une perméabilité de 10–7 m2 pour les extrémités des feuilles du modèle n’est pas le meilleur. Une étude statistique comparative avec les mesures en champ, sur des feuilles sans partie poreuse a été réalisée pour le prouver. Puis, sur la constatation d’un bon écoulement autour de la vigne pour une perméabilité de 10–8 m2 , deux autres études ont été faites sur des feuilles aux extrémités poreuses et totalement poreuses (α = 10–8 m2 ).

Le tableau 5.4 ci-dessous récapitule les tests statistiques effectués jusqu’à présent sur les différents modèles de feuille utilisés. Seuls les tests de Behrens - Fisher ont été représentés par soucis de simplicité, ceux-ci donnant sensiblement les mêmes résultats que ceux obtenus par la méthode non paramétrique.

Ce tableau montre qu’un modèle de feuille mixte, de perméabilité α = 10–8 m2 , augmente la diffusion de l’écoulement dans la vigne, si bien que tous les tests sont non significatifs en position 3. En outre, le modèle totalement poreux (avec α = 10–8 m2 ) donnent des tests non significatifs en position 2. Ce dernier est donc le plus fidèle aux mesures réalisées in situ . En outre, il est plus simple à mettre en oeuvre que les précédents, d’où son intérêt.

© Julien Dupuy, 2006